CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN

*

1. Phần bù đại số

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ lúc đó $A_ij=(-1)^i+jM_ij,$ cùng với $M_ij$ là định thức nhận thấy tự định thức của ma trận $A$ bằng cách loại bỏ chiếc $i$ cùng cột $j$ được Gọi là phần bù đại số của bộ phận $a_ij.$

lấy ví dụ như 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight).$

Tính các phần bù đại số $A_11,A_12,A_13,A_14.$

Giải.

Bạn đang xem: Tính nhanh định thức ma trận cấp 4

Ta có:

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Công thức khai triển Laplace

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ Lúc đó

$det (A)=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+a_inA_in ext (i=1,2,...,n)$

đây là cách làm knhì triển định thức ma trận $A$ theo dòng thứ $i.$

$det (A)=a_1jA_1j+a_2jA_2j+...+a_njA_nj ext (j=1,2,...,n)$

đó là cách làm khai triển định thức ma trận $A$ theo cộng sản phẩm $j.$

Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight)$ theo công thức knhì triển chiếc 1.

Giải. Có$det (A)=1.A_11+2.A_12-1.A_13+m.A_14,$ trong những số đó

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Vậy $det (A)=-35+2.(-45)-34+7m=7m-159.$

lấy một ví dụ 2: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&1&2&2\ - 3&1&5&1\ - 2&5&0&0\ 2& - 1&3& - 1 endarray ight|.$

Giải. Để ý dòng 3 của định thức tất cả 2 bộ phận bằng 0 cần knhị triển theo cái này đã chỉ có nhị số hạng

lấy một ví dụ 3: Tính định thức $left| eginarray*20c 0&1&2& - m\ - 2& - 1&2&1\ 0& - 3&4&2\ 0& - 5&1&1 endarray ight|.$

Giải. Để ý cột 1 có 3 thành phần bởi 0 nên knhì triển theo cột 1 ta có

ví dụ như 4: Tính định thức

Giải. Để ý cột 3 gồm phần tử thứ nhất là 1 trong, vậy ta đang biến đổi sơ cấp đến định thức theo cột 3

*

lấy một ví dụ 5: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ 2& - 4&3&1\ - 3&2&1&2 endarray ight|.$

Giải.

*

lấy ví dụ 6: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 3&2&1&2 endarray ight).$ Tính tổng các phần bù đại số của các bộ phận trực thuộc mẫu 4 của ma trận $A.$

Giải. Ttốt các bộ phận ngơi nghỉ dòng 4 của ma trận A vì $-2,$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 2& - 2& - 2& - 2 endarray ight)$ bao gồm định thức bằng 0 bởi tất cả hai loại kiểu như nhau và hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của những phần tử mẫu 4 như thể nhau.

Vậy $det (B)=-2A_41-2A_42-2A_43-2A_44=0Leftrightarrow A_41+A_42+A_43+A_44=0.$

lấy ví dụ 7: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ - 4&5& - 6&7 endarray ight).$ Tính $A_41+2A_42+3A_43+4A_44.$

Giải. Thay các phần tử ở loại 4 của ma trận A theo thứ tự bởi vì $1,2,3,4$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ 1&2&3&4 endarray ight)$ tất cả định thức bằng 0 bởi gồm nhì loại tương đương nhau và nhị ma trận $A,B$ bao gồm những phần bù đại số của các bộ phận mẫu 4 như là nhau

Vậy $det (B)=1A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0Leftrightarrow A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0.$

Ví dụ 8: Cho D là 1 định thức cung cấp n bao gồm tất cả các thành phần của một chiếc thiết bị i bằng 1. Chứng minh rằng:

Tổng những phần bù đại số của các thành phần trực thuộc mỗi dòng khác cái sản phẩm công nghệ i những bởi 0.Định thức D bằng tổng phần bù đại số của toàn bộ những phần tử của chính nó.

ví dụ như 9: Tính định thức $left| eginarray*20c - 2&5&0& - 1&3\ 1&0&3&7& - 2\ 3& - 1&0&5& - 5\ 2&6& - 4&1&2\ 0& - 3& - 1&2&3 endarray ight|.$

lấy ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c 1& - 2&3&2& - 5\ 2&1&2& - 1&3\ 1&4&2&0&1\ 3&5&2&3&3\ 1&4&3&0& - 3 endarray ight|.$

3. Định thức của ma trận tam giác

Định thức của ma trận tam giác bởi tích các bộ phận nằm trên đường chéo chính

Thật vậy, đối với ma trận tam giác trên knhì triển theo cột 1 có:

*

đối với ma trận tam giác bên dưới khai triển theo loại 1.

4. Tính định thức dựa vào những đặc thù định thức, cách làm khai triển Laplace cùng biến hóa về ma trận tam giác

lấy ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|underlineunderline c2 + c3 + ... + cn + c1 left| eginarray*20c a + (n - 1)b&b&...&b\ a + (n - 1)b&a&...&b\ ...&...&...&...\ a + (n - 1)b&b&...&a endarray ight|\ = left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 1&a&...&b\ ...&...&...&...\ 1&b&...&a endarray ight|\ underlineunderline - d_1 + d_i left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 0&a - b&...&b\ ...&...&...&...\ 0&0&...&a - b endarray ight| = left( a + (n - 1)b ight)(b - b)^n - 1. endarray$

Bây Giờ joy6.vn kiến tạo 2 khoá học tập Toán thù cao cấp 1 cùng Toán thù thời thượng 2 dành riêng cho sinch viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinc tế của toàn bộ những trường:

Khoá học tập cung cấp khá đầy đủ kiến thức và kỹ năng cùng phương pháp giải bài tập những dạng toán thù đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận tất cả giải mã cụ thể tại website để giúp đỡ học tập viên học tập nkhô nóng cùng vận dụng chắc chắn rằng kỹ năng. Mục tiêu của khoá học góp học viên ăn điểm A thi cuối kì những học phần Toán cao cấp 1 với Toán cao cấp 2 trong số trường tài chính.

Xem thêm: Những Cách Ứng Xử Khéo Léo Trong Tình Yêu Có Thể Bạn Muốn Biết

Sinh viên các trường ĐH dưới đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương thơm Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinch tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

với những trường ĐH, ngành kinh tế tài chính của những ngôi trường ĐH khác bên trên khắp toàn nước...